[기초통계] 카이제곱분포 의미 및 개념 정리

업데이트:

카이제곱분포 의미 및 개념 정리

참고링크

1. 카이제곱분포의 정의

카이제곱분포(chi-squared distribution)은 p개의 서로 독립적인 표준정규 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포이다. 이 때 p를 자유도라고 하며, 카이제곱분포의 매개변수가 된다. 카이제곱 분포는 신뢰구간이나 가설검정 등의 모델에서 자주 등장한다.

2. 카이제곱분포의 확률밀도함수, 평균, 분산

figure01

2. 감마분포와의 관계

사실 카이제곱분포는 감마분포의 특수한 경우라고 생각하실수 있습니다. 카이제곱분포는 감마분포에서 $\alpha = p/2$, $\beta = 2$인 경우를 나타냅니다. 따라서 감마분포를 이해하고 계신다면 카이제곱분포도 쉽게 이해하실수 있습니다.

3. 표준정규분포와의 관계

카이제곱분포의 정의에서 알 수 있듯, 카이제곱분포는 표준정규확률변수를 각각 제곱한 다음 합새서 얻어지는 분포인데요. 쉽게 말해 표준정규확률변수를 제곱해서 더하면 카이제곱분포가 되는 것인데요. 이를 수식으로 정리하면 아래와 같습니다.

표준정규 확률변수 $X_{1}, \dots , X_{p}$가 있다고 가정하면

\[Q = \sum_{i=1}^{p} X_{i}^{2}\]

는 자유도 p의 카이제곱분포입니다. 이를 $ Q \sim \chi_{p}^{2}$ 으로 표현합니다.

참고. 확률분포간 관계도

figure100